33.1 Mengidentifikasi suatu masalah konstektual yang diketahui kedalam variabel x, y, dan z. 3.3.2 Menyusun sistem persamaan linear tiga variabel (model matematika) dari masalah konstektual. 4.3.5 Menyelesaikan masalah konstektual yang berkaitan dengan sistem persamaan linear tiga variabel dengan menggunakan metode gabungan (eliminasi
Matematika Dasar ยป Sistem Persamaan Linear โบ Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel Sistem Persamaan Linear Sistem persamaan linear tiga variabel SPLTV adalah sistem persamaan yang terdiri dari tiga persamaan di mana masing-masing persamaan memiliki tiga variabel. Kita dapat menyelesaikan SPLTV dengan dua cara yakni cara substitusi dan eliminasi. Oleh Tju Ji Long Statistisi Hub. WA 0812-5632-4552 Sistem persamaan linear tiga variabel adalah sistem persamaan yang terdiri dari tiga persamaan di mana masing-masing persamaan memiliki tiga variabel. Sama halnya pada sistem persamaan linear dua variabel SPLDV, kita dapat menyelesaikan atau mencari himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear tiga variabel SPLTV dengan dua cara atau metode, yakni metode substitusi dan metode eliminasi. Metode Substitusi Berikut adalah langkah-langkah untuk menerapkan metode substitusi pada sistem persamaan linear tiga variabel SPLTV Ubah salah satu persamaan pada sistem persamaan dan nyatakan \x\ sebagai fungsi dari \y\ dan \z\, atau \y\ sebagai fungsi dari \x\ dan \z\, atau \z\ sebagai fungsi dari \x\ dan \y\. Substitusi fungsi \x\ atau \y\ atau \z\ dari Langkah 1 pada dua persamaan lain sehingga diperoleh sistem persamaan linear dua variabel SPLDV. Selesaikan sistem persamaan linear dua variabel SPLDV tersebut. Kita telah membahas penyelesaian SPLDV, sehingga tidak akan dijelaskan lagi di sini. Contoh 1 Tentukan nilai \x\, \y\ dan \z\ dari sistem persamaan linear tiga variabel berikut. Pembahasan Kita akan menggunakan metode substitusi dengan mengikuti langkah-langkah yang dijelaskan di atas. Langkah 1 Ubah persamaan pertama anda bebas mengubah persamaan manapun sehingga diperoleh \z\ sebagai fungsi dari \x\ dan \y\, yakni Langkah 2 Substitusi persamaan iv ke persamaan lain yakni persamaan dua dan tiga, lalu lakukan penyederhanaan. Kita peroleh Perhatikan bahwa kita telah memperoleh nilai \x\ dan \y\, yakni \x = -5\ dan \y = -3\. Dengan mensubstitusi nilai \x\ dan \y\ pada persamaan iv, kita peroleh nilai \z\ yakni Jadi, nilai \x, y\ dan \z\ yang memenuhi sistem persamaan linear tiga variabel tersebut adalah \x = -5, \ y = -3, \ z = 2\ atau kita nyatakan dengan \x,y,z= -5,-3,2\. Perhatikan bahwa dari Contoh 1, kita hanya menggunakan dua langkah dan berhasil mendapatkan nilai \x\ dan \y\ sehingga kita tidak memerlukan langkah 3. Ini hanya kebetulan saja. Sering kali, kita harus menggunakan langkah ketiga. Oleh karena itu, kita akan memberikan satu Contoh lagi. Contoh 2 Carilah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear tiga variabel SPLTV berikut ini dengan metode substitusi. Pembahasan Pertama, kita tentukan dulu persamaan yang paling sederhana dari ketiga persamaan yang ada. Dalam hal ini, persamaan pertama tampak lebih sederhana sehingga kita ubah persamaan pertama dan diperoleh \x\ sebagai fungsi dari \y\ dan \z\. Substitusi variabel \x\ dalam persamaan iv ke persamaan 2. Kita peroleh Substitusi variabel \x\ dalam persamaan iv ke persamaan 3. Kita peroleh Persamaan v dan vi membentuk sistem persamaan linear dua variabel SPLDV dalam variabel \y\ dan \z\, yakni Kita akan menyelesaikan SPLDV ini, sehingga diperoleh nilai untuk variabel \y\ dan \z\. Dari persamaan vi, kita peroleh Substitusi variabel \y\ ke dalam persamaan persamaan v, sehingga diperoleh Substitusi nilai \z = 7\ yang kita peroleh di atas ke salah satu persamaan SPLDV, misalnya \y - z = -4\. Kita peroleh Terakhir, substitusi nilai \y = 3\ dan \z = 7\ ke salah satu dari SPLTV, misalnya \ x-2y + z = 6 \ sehingga kita peroleh Jadi, nilai \x, y\ dan \z\ yang memenuhi SPLTV tersebut adalah \x,y,z = 5, 3, 7\. Metode Eliminasi Berikut adalah langkah-langkah yang diperlukan untuk menerapkan metode eliminasi Ambil sembarang dua persamaan dari tiga persamaan yang ada misal persamaan 1 dan 2, atau persamaan 1 dan 3 atau persamaan 2 dan 3. Lalu, menyamakan salah satu koefisien dari variabel \x\ atau \y\ atau \z\ dari kedua persamaan yang diambil dengan cara mengalikan konstanta yang sesuai. Setelah itu, eliminasi atau hilangkan variabel yang memiliki koefisien yang sama dengan cara menambahkan atau mengurangkan kedua persamaan sehingga diperoleh persamaan baru dengan dua variabel. Lakukan hal yang sama seperti Langkah 1 pada pasangan persamaan lain. Dari Langkah 1 dan 2, kita peroleh sistem persamaan linear dua variabel. Lalu, selesaikan SPLDV tersebut. Tuliskan penyelesaiannya dalam \x,y,z\. Contoh 3 Carilah nilai \x, y\ dan \z\ yang memenuhi sistem persamaan linear tiga variabel berikut Pembahasan Kita akan menggunakan metode eliminasi dengan mengikuti langkah-langkah yang dijelaskan di atas. Langkah 1 Ambil dua persamaan yakni persamaan 1 dan 2. Karena koefisien variabel \z\ adalah sama, maka kita akan eliminasi variabel \z\ dengan cara menambahkan kedua persamaan tersebut sehingga diperoleh persamaan baru dengan dua variabel yakni \x\ dan \y\. Langkah 2 Ulangi Langkah 1 pada pasangan persamaan lain. Kita ambil pasangan persamaan 2 dan 3. Kita perlu eliminasi variabel z dengan cara mengalikan persamaan 2 dengan nilai 2 dan persamaan tiga dengan nilai 1, yakni Langkah 3 Dari Langkah 2, kita peroleh nilai \x = 5\. Dengan substitusi nilai \x\ ke persamaan iv kita peroleh nilai \y\, yakni Substitusi nilai \x\ dan \y\ pada persamaan 2 anda bebas memilih salah satu dari tiga persamaan yang diberikan pada soal. Kita peroleh Langkah 4 Jadi, penyelesaian dari sistem persamaan linear tiga variabel tersebut adalah \x,y,z = 5, 3, -1\. Cukup sekian ulasan singkat mengenai cara menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel SPLTV dalam artikel ini. Terima kasih telah membaca artikel ini sampai selesai. Jika Anda merasa artikel ini bermanfaat, boleh dibantu share ke teman-temannya, supaya mereka juga bisa belajar dari artikel ini. Jika Anda merasa artikel ini bermanfaat, bantu klik tombol suka di bawah ini dan tuliskan komentar Anda dengan bahasa yang sopan.
Caramenyelesaikan sistem persamaan linear spl dengan matriks. Source: belajarsemua.github.io. Caranya bisa disimak dari contoh soal berikut. Nah untuk memantapkan pemahaman kamu tentang penyelesaian persamaan linear tiga variabel, silahkan simak contoh soal cerita di bawah ini. Contoh soal dan jawaban persamaan linear 3 variabel. Source
2x + y โ z = 1 x + y + z = 6 x โ 2y + z = 0 Penyelesaian Pertama, kita buat nama yang spesifik dari ketiga sistem persamaan linear di atas, yaitu sebagai berikut. 2x + y โ z = 1 โฆโฆโฆโฆโฆ Pers. 1 x + y + z = 6 โฆโฆ.โฆโฆโฆ Pers. 2 x โ 2y + z = 0 โฆโฆโฆโฆโฆ Pers. 3 Kemudian, persamaan 1, 2, dan 3 kita susun dalam bentuk matriks berikut. AX = B Matriks A memuat koefisien-koefisien ketiga persamaan. Matriks X memuat variabel x, y, dan z. Sedangkan matriks B memuat konstanta-konstanta ketiga persamaan linear. Dengan demikian, bentuk matriks AX = B adalah sebagai berikut. 2 1 โ1 x = 1 1 1 1 y 6 1 โ2 1 z 0 Untuk menentukan nilai x, y, dan z maka bentuk matriks AX = B harus kita ubah menjadi bentuk invers seperti berikut. AX = B X = A-1B Matriks dari A-1 dirumuskan sebagai berikut. A-1 = 1/determinan Aadjoin A A-1 = 1 adj a1 b1 c1 a2 b2 c2 det A a3 b3 c3 Sampai tahap ini, kita harus menentukan nilai dari determinan matriks A dan juga adjoin matriks A. Penjelasannya adalah sebagai berikut. Menentukan determinan matriks A Dari matriks A tambahkan 2 kolom di sebalah kanan. Kolom keempat berisi elemen dari kolom pertama, sedangkan kolom kelima berisi elemen dari kolom kedua matriks A. Sehingga matriks A menjadi seperti berikut. A = 2 1 โ1 2 1 1 1 1 1 1 1 โ2 1 1 โ2 Dari bentuk matrik di atas, nilai determinan dari matriks A adalah sebagai berikut. det A = [211 + 111 + โ11โ2] โ [11โ1 + โ212 + 111] det A = [2 + 1 + 2] โ [โ1 โ 4 + 1] det A = 5 โ โ4 det A = 9 Adjoin matriks A Untuk menentukan adjoin matriks A digunakan rumus berikut. Adj A = matriks kofaktor AT Jadi sebelum dapat menentukan adjoin matriks, kita harus menentukan dahulu matriks kofaktor A yang ditranspose. Menentukan matriks kofaktor A [kofA] Elemen-elemen matriks kofaktor A adalah sebagai berikut. kofA = K11 K12 K13 K21 K22 K23 K31 K32 K33 Kesembilan elemen K tersebut dapat tentukan dengan menggunakan minor-kofaktor yang dirumuskan sebagai berikut. K11 = โ11 + 1 M11 M11 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris dan kolom pertama matriks A. M11 = 2 1 โ1 1 1 1 1 โ2 1 M11 = 1 1 = [11] โ [โ21] = 3 โ2 1 Dengan demikian, nilai dari K11 adalah sebagai berikut. K11 = โ11 + 1 3 = 3 K12 = โ11 + 2 M12 M12 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris pertama dan kolom kedua matriks A. M12 = 2 1 โ1 1 1 1 1 โ2 1 M12 = 1 1 = [11] โ [11] = 0 1 1 Dengan demikian, nilai dari K12 adalah sebagai berikut. K12 = โ11 + 2 0 = 0 K13 = โ11 + 3 M13 M13 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris pertama dan kolom ketiga matriks A. M13 = 2 1 โ1 1 1 1 1 โ2 1 M13 = 1 1 = [1โ2] โ [11] = โ3 1 โ2 Dengan demikian, nilai dari K13 adalah sebagai berikut. K13 = โ11 + 3 โ3 = โ3 K21 = โ12 + 1 M21 M21 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris kedua dan kolom pertama matriks A. M21 = 2 1 โ1 1 1 1 1 โ2 1 M21 = 1 โ1 = [11] โ [โ2โ1] = โ1 โ2 1 Dengan demikian, nilai dari K21 adalah sebagai berikut. K21 = โ12 + 1 โ1 = 1 K22 = โ12 + 2 M22 M22 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris kedua dan kolom kedua matriks A. M22 = 2 1 โ1 1 1 1 1 โ2 1 M22 = 2 โ1 = [21] โ [1โ1] = 3 1 1 Dengan demikian, nilai dari K22 adalah sebagai berikut. K22 = โ12 + 2 3 = 3 K23 = โ12 + 3 M23 M23 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris kedua dan kolom ketiga matriks A. M23 = 2 1 โ1 1 1 1 1 โ2 1 M23 = 2 1 = [2โ2] โ [11] = โ5 1 โ2 Dengan demikian, nilai dari K23 adalah sebagai berikut. K23 = โ12 + 3 โ5 = 5 K31 = โ13+ 1 M31 M31 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris ketiga dan kolom pertama matriks A. M31 = 2 1 โ1 1 1 1 1 โ2 1 M31 = 1 โ1 = [11] โ [1โ1] = 2 1 1 Dengan demikian, nilai dari K31 adalah sebagai berikut. K31 = โ13 + 1 2 = 2 K32 = โ13+ 2 M32 M32 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris ketiga dan kolom kedua matriks A. M32 = 2 1 โ1 1 1 1 1 โ2 1 M32 = 2 โ1 = [21] โ [1โ1] = 3 1 1 Dengan demikian, nilai dari K32 adalah sebagai berikut. K32 = โ13 + 2 3 = โ3 K33 = โ13+ 3 M33 M33 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris ketiga dan kolom ketiga matriks A. M33 = 2 1 โ1 1 1 1 1 โ2 1 M33 = 2 1 = [21] โ [11] = 1 1 1 Dengan demikian, nilai dari K33 adalah sebagai berikut. K33 = โ13 + 3 1 = 1 Sekarang kita kumpulkan semua nilai K yang diperoleh dari perhitungan di atas, yaitu sebagai berikut. K11 = 3 K21 = 1 K31 = 2 K12 = 0 K22 = 3 K32 = โ3 K13 = โ3 K23 = 5 K33 = 1 Dengan demikian, bentuk dari matriks kofaktor A adalah sebagai berikut. kofA = 3 0 โ3 1 3 5 2 โ3 1 Menentukan matriks Kofaktor A Transpose [kofAT] Bentuk matriks transpose diperoleh dengan cara menukar elemen-elemen baris suatu matriks menjadi elemen-elemen kolom dan menukar elemen-elemen kolom menjadi elemen-elemen baris. Dengan demikian, bentuk matriks transpose dari matriks kofaktor A adalah sebagai berikut. [kofA]T = 3 1 2 0 3 โ3 โ3 5 1 Bentuk transpose dari matriks kofaktor A merupakan matriks adjoin A, sehingga adjoin dari matriks A adalah sebagai berikut. Adj A = matriks kofaktor AT Adj A = 3 1 2 0 3 โ3 โ3 5 1 Langkah terakhir adalah menentukan nilai x, y, dan z dengan mengubah bentuk matriks AX = B menjadi bentuk invers seperti berikut. AX = B X = A-1B x = 1 adj 2 1 โ1 1 y 1 1 1 6 det A z 1 โ2 1 0 x = 1 3 1 2 1 y 0 3 โ3 6 9 z โ3 5 1 0 x = 3/9 1/9 2/9 1 y 0/9 3/9 โ3/9 6 z โ3/9 5/9 1/9 0 x = 3/9 ร 1 + 1/9 ร 6 + 2/9 ร 0 y 0/9 ร 1 + 3/9 ร 6 + โ3/9 ร 0 z โ3/9 ร 1 + 5/9 ร 6 + 1/9 ร 0 x = 3/9 + 6/9 + 0 y 0 + 18/9 + 0 z โ3/9 + 30/9 + 0 Jadi, kita peroleh nilai x = 1, y = 2 dan z = 3. Dengan demikian, himpunan penyelesaian sistem persamaan linear di atas adalah {1, 2, 3}. Materi
SitusEkonomi - Penggunaan konsep matriks invers dalam penyelesaian suatu sistem persamaan linear dapat mempercepat penghitungan kita. Sebelumnya, coba kita perhatikan pada sistem persamaan di bawah ini: 6 x1 + 3 x2 + x3 = 22. x1 + 4 x2 - 2 x3 = 12. 4 x1 - x2 + 5 x3 = 10 (1.1). Persamaan tersebut dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut:
Ada beberapa cara dalam menyelesaikan persamaan linier tiga variabel yaitu dengan menggunakan metode substitusi, eliminasi bertingkat ataupun gabungan eliminasi substitusi. Selain metode-metode tersebut, kita juga dapat menggunakan metode determinan matriks dalam menyelesaikan sistem persamaan linier tiga variable. Salah satu aplikasi matriks adalah dalam menyelesaikan persamaan linier. Untuk itu, kali ini saya akan berbagi contoh cara menyelesaikan persamaan linier tiga variable dengan metode Determinan Matriks. Dalam hal ini, Determinan kita tentukan melalui metode Sarrus. Baiklah langsung saja kita bahas Contoh Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linier tiga variable 2x + y + z = 12 x + 2y โ z = 3 3x โ y +z = 11 Jawab Pertama kita ubah bentuk sistem persamaan di atas kedalam bentuk matriks Kemudian kita tentukan determinan matriks D, Dx, Dy, dan Dz. Matriks D adalah matriks 3 x 3 yang elemen-elemennya terdiri atas koefisien-koefisien semua variabel persamaan. Matriks Dx adalah matriks 3 x 3 yang elemen kolom pertamanya merupakan konstanta persamaan, kemudian kolom kedua terdiri atas koefisien y, dan kolom ketiga terdiri atas koefisien z. Matriks Dy adalah matriks 3 x 3 yang elemen kolom pertamnya terdiri atas koefisien x, kolom kedua terdiri atas konstanta persamaan, dan kolom ketiga terdiri atas koefisien z. Sedangkan, matriks Dz adalah matriks 3 x 3 yang elemen kolom pertamanya terdiri atas koefisien x, kolom kedua terdiri atas koefisien y, dan kolom ketiga terdiri atas konstanta persamaan. Sehingga, Nilai x, y, dan z ditentukan dengan rumus Jadi, himpunan penyelesaianya adalah {3, 2, 4} Nah, sekarang cobalah dengan menyelesaikan soal berikut Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variable berikut 3x โ y + 2z = 16 2x + y + z = 1 4x โ 2y + z = 18
Selesaikansoal matematika Anda menggunakan pemecah soal matematika gratis kami dengan solusi langkah demi langkah. Pemecah soal matematika kami mendukung matematika dasar, pra-ajabar, aljabar, trigonometri, kalkulus, dan lainnya. Penyelesaian Satu Variabel. Faktor. Ekspansi. Menyelesaikan Pecahan. Persamaan Linear. Persamaan Kuadrat
- Tahukah kamu bahwa penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel SPLTV dapat diselesaikan selain menggunakan metode eliminasi dan substitusi, juga dapat dicari dengan metode determinan dan invers matriks? Untuk lebih jelasnya mengenai bagaimana cara penyelesaian SPLTV dengan metode determinan dan invers matriks, mari simak pembahasan di umum, bentuk dari SPLTV adalah sebagai berikut FAUZIYYAH Bentuk umum sistem persamaan linear tiga variabel Karena penyelesaian SPLTV dengan metode determinan dan invers menggunakan konsep matriks, maka SPLTV di atas harus kita ubah dalam bentuk matriks. Baca juga Metode Eliminasi dan Substitusi SPLTVMatriks SPLTV dapat kita tulis menjadi AX=B seperti di bawah FAUZIYYAH Bentuk umum sistem persamaan linear tiga variabel ditulis dalam bentuk matriks Metode Determinan Dilansir dari The Pearson Complete Guide to the AIEEE oleh Dorling Kindersley tahun 2007, determinan adalah bilangan murni yang berasosiasi dengan matriks persegi, yang memiliki angka dan nilai tetap. Determinan matriks A yang kita asumsikan dengan D, diperoleh dengan mencari determinan dari elemen-elemen tersebut. FAUZIYYAH Determinan matriks A D Baca juga Mendefinisikan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel SPLTV
Determinanordo 2x2, 3x3 dan nxn matriks minor dan kofaktor 5. Materi obe ini sebenarnya dipelajari pada tingkat perkuliahan,. Invers matriks pada ordo 3x3, dapat digunakan metode eliminasi gauss jordan. Contoh soal dan pembahasan sistem persamaan linear dua variabel. El i minasi gauss jordan ini adalah pengembangan dari eliminasi gauss yang .
Lihat juga matriks, eliminasi Gauss-Jordan, Transformasi linier geometris Gunakan kalkulator di bawah ini untuk mencari solusi dari sistem persamaan linier dengan 2, 3 ataupun sampai 10 variabel. Lihat di bawah untuk belajar berbagai macam metode untuk menyelesaikan sistem persamaan linier. Kalkulator Sistem Persamaan Linier Pilih berapa variabel di dalam sistem persamaan memuat . . . menghitung . . . Tolong laporkan kesalahan ke [email protected]. Terima kasih. Metode untuk menyelesaikan sistem persamaan linier Paling sedikit ada lima cara / metode untuk mencari solusi sistem persamaan linier. Eliminasi Substitusi Grafik Matriks Invers Eliminasi Gauss/ Eliminasi Gauss-Jordan Sebagai contoh, marilah kita coba untuk mencari solusi sistem persamaan linier dengan tiga variabel berikut ini { x + y โ z = 1 1 8โขx + 3โขy โ 6โขz = 1 2 โ4โขx โ y + 3โขz = 1 3 Metode eliminasi Metode ini bekerja dengan care mengeliminasi menghilangkan variabel-variabel di dalam sistem persamaan hingga hanya satu variabel yang tertinggal. Pertama-tama, lihat persamaan-persamaan yang ada dan coba cari dua persamaan yang mempunyai koefisien yang sama baik positif maupun negatif untuk variabel yang sama. Misalnya, lihat persamaan 1 dan 3 . Koefisien untuk y adalah 1 dan โ1 untuk masing-masing persamaan. Kita dapat menjumlah kedua persamaan ini untuk menghilangkan y dan kita mendapatkan persamaan 4 . x + y โ z = 1 1 โ4โขx โ y + 3โขz = 1 3 - + โ3โขx + 0 + 2โขz = 2 4 Perhatikan bahwa persamaan 4 terdiri atas variabel x dan z. Sekarang kita perlu persamaan lain yang terdiri atas variabel yang sama dengan persamaan 4 . Untuk mendapatkan persamaan ini, kita akan menghilangkan y dari persamaan 1 dan 2 . Dalam persamaan 1 dan 2 , koefisien untuk y adalah 1 dan 3 masing-masing. Untuk menghilangkan y, kita kalikan persamaan 1 dengan 3 lalu mengurangkan persamaan 2 dari persamaan 1 . x + y โ z = 1 1 ร 3 8โขx + 3โขy โ 6โขz = 1 2 3โขx + 3โขy โ 3โขz = 3 1 8โขx + 3โขy โ 6โขz = 1 2 - โ โ5โขx + 0โขy + 3โขz = 2 5 Dengan persamaan 4 dan 5 , mari kita coba untuk menghilangkan z. โ3โขx + 2โขz = 2 4 ร 3 โ5โขx + 3โขz = 2 5 ร 2 โ9โขx + 6โขz = 6 4 โ10โขx + 6โขz = 4 5 - โ +01โขx + 0โขz = 2 6 Dari persamaan 6 kita dapatkan x=2. Sekarang kita bisa subtitusikan masukkan nilai dari x ke persamaan 4 untuk mendapatkan nilai z. โ3โข2 + 2โขz = 2 4 โ6 + 2โขz = 2 2โขz = 2+6 2โขz = 8 z = 8 รท 2 z = 4 Akhirnya, kita substitusikan masukkan nilai dari x dan z ke persamaan 1 untuk mendapatkan y. 2+yโ4 =1 1 y =1โ2+4 y =3 Jadi solusi sistem persamaan linier di atas adalah x=2, y=3, z=4. Metode substitusi Pertama-tama, marilah kita atur persamaan 1 ssupaya hanya ada 1 variabel di sebelah kiri. x=1โy+z 1 Sekarang kita substitusi x ke persamaan 2 . 8โข 1โy+z +3โขy โ6โขz =1 2 8 โ8โขy +8โขz +3โขy โ6โขz =1 โ5โขy +2โขz =1โ8 โ5โขy +2โขz =โ7 4 Dengan cara yang sama seperti di atas, substitusi x ke persamaan 3 . โ4โข 1โy+z โy +3โขz =1 3 โ4 +4โขy โ4โขz โy +3โขz =1 3โขy โz =1+4 3โขy โz =5 5 Sekarang kita atur persamaan 5 supaya hanya ada 1 variabel di sebelah kiri. z=3โขyโ5 5 Kemudian, substitusi nilai dari z ke persamaan 4 . โ5โขy +2โข 3โขyโ5 =โ7 4 โ5โขy +6โขyโ10 =โ7 y =โ7+10 y =3 Sekarang kita sudah tahu nilai dari y, kita dapat masukkan nilai ini ke persamaan 5 untuk mencari z. z =3โข 3 โ5 5 z =9 โ5 z =4 Akhirnya, kita substitusikan nilai dari y and z ke persamaan 1 untuk mendapatkan nilai x. x =1โ3+4 1 x =2 Metode grafik Penyelesaian sistem persamaan linier dengan metode grafik dilakukan dengan cara menggambar garis garis atau bidang planar yang merupakan representasi dari persamaan-persamaan yang ada dalam sistem tersebut. Solusinya adalah koordinat-koordinat yang merupakan titik potong dari garis-garis ataupun bidang-bidang planar itu. Sebagai contoh, marilah kita lihat sistem persamaan liniear dengan dua variabel berikut ini. { x + y =3 2โขx โ y =โ3 Gambar kedua garis dari persamaan-persamaan di atas. Seperti terlihat pada grafik di atas, kedua garis itu bertemu mempunyai titik potong pada titik 0,3. Ini adalah solusi dari sistem persamaan linier tersebut, yaitu x=0, y=3. Untuk persamaan linier dengan tiga variabel, solusinya adalah titik pertemuan dari tiga bidang planar dari masing-masing persamaan. Metode Matriks Invers Sistem persamaan linier yang terdiri atas persamaan-persamaan 1 , 2 dan 3 di atas dapat juga ditulis dengan bentuk notasi matriks sebagai berikut AโขB =C 1 2 โ1 8 3 โ6 โ4 โ1 3 โข x y z = 1 1 1 Solusinya adalah matriks B. Agar kita dapat mengisolasi B sendirian di salah satu sisi dari persamaan di atas, kita kalikan kedua sisi dari persamaan di atas dengan invers dari matriks A. Aโ1 โขAโขB = Aโ1 โขC B = Aโ1 โขC Sekarang, untuk mencari B kita perlu mencari Aโ1. Silakan melihat halaman tentang matriks untuk belajar bagaimana mencari invers dari sebuah matriks. Aโ1 = โ3 2 3 0 1 2 โ4 3 5 B = โ3 2 3 0 1 2 โ4 3 5 โข 1 1 1 B = 2 3 4 Jadi solusinya adalah x=2, y=3, z=4. Metode ini dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier dengan n variabel. Kalkulator di atas juga menggunakan metode ini untuk menyelesaikan sistem persamaan linier. Eliminasi Gauss / Eliminasi Gauss-Jordan Sistem persamaan liniear yang terdiri atas persamaan-persamaan 1 , 2 dan 3 dapat juga dinyatakan dalam bentuk matriks teraugmentasi seperti berikut A= 1 1 โ1 1 8 3 โ6 1 โ4 โ1 3 1 Dengan melakukan serangkaian operasi baris Eliminasi Gauss, kita dapat menyederhanakan matriks di atas untuk menjadi matriks Eselon-baris. A= 1 โ 0 1 โ 0 0 1 4 Kemudian kita bisa substitusikan kembali nilai-nilai yang kita dapat untuk mencari nilai dari semua variabel. Atau, kita juga bisa meneruskan dengan serangkaian operasi baris lagi sehingga matriks di atas menjadi matriks yang Eselon-baris tereduksi dengan menggunakan Eliminasi Gauss-Jordan. A= 1 0 0 2 0 1 0 3 0 0 1 4 Dengan melakukan operasi Eliminasi Gauss-Jordan, kita mendapatkan solusi dari sistem persamaan linier di atas pada kolom terakhir x=2, y=3, z=4. Untuk melihat secara mendetil operasi baris yang diperlukan, silakan melihat halaman tentang Eliminasi Gauss-Jordan. See also matrix, Gauss-Jordan elimination, Geometric Linear Transformation
Bilangankedua sama dengan dari jumlah bilangan yang lain. Bilangan pertamanya adalah Ali, Budi, Cici, dan Dedi pergi ke toko koperasi membeli buku tulis, pena, dan pensil dengan merk yang sama. Ali membeli 3 buku tulis, 1 pena, dan 2 pensil dengan harga Rp 11.000,00. Budi membeli 2 buku tulis, 3 pena, dan 1 pensil dengan harga Rp 14.000,00.
๏ปฟ1 Sistem Persamaan Linier dua Variabel Salah satu diantara penggunaan invers matriks adalah untuk menyelesaikan sistim persamaan linier. Tentu saja teknik penyelesaiannya dengan aturan persamaan matriks, yaitu Selain dengan persamaan matriks, teknik menyelesaikan sistem persamaan linier juga dapat dilakukan dengan determinan matriks. Aturan dengan cara ini adalah Untuk lebih jelaxnya, ikutilah contoh soal berikut ini 02. Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan 2x โ 3y = 8 dan x + 2y = โ3 dengan metoda a Invers matriks b Determinan Jawab a Dengan metoda invers matriks diperoleh b Dengan metoda determinan matriks diperoleh 2 Sistem Persamaan Linier Tiga Variabel. Sepeti halnya pada sistem persamaan linier dua variabel, menyelesaikan sistem persamaan linier tiga variabel dengan matriks juga terdiri dari dua cara, yakni dengan menggunakan determinan matriks dan dengan menggunakan aturan invers perkalian matriks. Berikut ini akan diuraikan masing masing cara tersebut. Aturan menyelesaikan sistem persamaan linier menggunakan determinan matriks adalah dengan menentukan terlebih dahulu matriks koefisien dari sistem persamaan itu. Selanjutnya ditentukan empat nilai determinan sebagai berikut 1 D yakni determinan matriks koefisien 2 Dx yakni determinan matriks koefisien dengan koefisien x diganti konstanta 3 Dy yakni determinan matriks koefisien dengan koefisien y diganti konstanta 4 Dz yakni determinan matriks koefisien dengan koefisien z diganti konstanta Rumus masing-masingnya adalah sebagai berikut Untuk lebih jelasnya, ikutilah contoh soal berikut ini 01. Tentukanlah himpunan penyelesaian sistem persamaan linier dibawah ini dengan menggunakan metoda determinan 2x โ 3y + 2z = โ3 x + 2y + z = 2 2x โ y + 3z = 1 Jawab D = 223 + โ312 + 21โ1 โ 222 โ 21โ1 โ โ313 D = 12 โ 6 โ 2 โ 8 + 2 + 9 D = 7 Dx = โ323 + โ311 + 22โ1 โ 221 โ โ31โ1 โ โ323 Dx = โ18 โ 3 โ 4 โ 4 โ 3 + 18 Dx = โ14 Dy = 223 + โ312 + 211 โ 222 โ 211 โ โ313 Dy = 12 โ 6 + 2 โ 8 โ 2 + 9 Dy = 7 Dz = 221 + โ322 + โ31โ1 โ โ322 โ 22โ1 โ โ311 Dz = 4 โ 12 + 3 + 12 + 4 + 3 Dz = 14
cL68I4p. 286 484 58 85 437 108 432 120 52
penyelesaian persamaan linear 3 variabel dengan matriks
